La inversión del Parménides de Platón, llevada a cabo por Badiou, enteramente en el límite del ejercicio [γύμνασις] desarrollado por el filósofo eleata en el diálogo platónico —pues axiomatiza la conclusión aporética del mismo— tiene exactamente el mismo problema que la versión original, pues realmente nunca es examinada. Tanto el ateniense, como el francés, proponen la hipótesis de que el «uno no es», pero nunca la desarrollan. Este aspecto desconcertante tiene su fundamento en el modo de argumentación badiouniano en El ser y el acontecimiento, ya que toma masivamente el uso de las matemáticas para, en lugar de asumir un origen [ἀρχή], tomar con determinación una decisión, tan axiomática como ontológica —en tanto la tesis asumida consiste en homologar matemática y ontología— sobre el ser. Con esto, las matemáticas abren un pensamiento que es capaz de examinar las consecuencias filosóficas de las antiguas discusiones metafísicas, pero para volverlas a cuestionar, sin tener que retornar al edificio del uno y la totalidad. El mismo Badiou comenta al respecto de esta determinación matemática, muy debida a su padre y modelo de todo una nueva filosofía contemporánea alejada de la fenomenología-hermenéutica:

“La [genealogía] general equivale a decir que soy un racionalista clásico. Como Platón, como Descartes, Malebranche, Leibniz o Spinoza, como Kant, como Husserl, estoy convencido de que la filosofía no hubiese siquiera existido sin el paradigma matemático. […] En realidad, la matemática nos conduce al punto en que la más completa libertad pensante es indiscernible de la más completa necesidad. Y, en los dos casos, tal como lo vio Platón inmediatamente, de lo que se trata es del poder de las formas: libertad originaria en su construcción axiomática, o en la hipótesis que sostiene su existencia, necesidad transparente en los encadenamientos y las conexiones que constituyen su dialéctica inteligible. 

Podría decir que, respecto del paradigma matemático, la filosofía se propone mostrar que existen formas de la existencia que son coherentes y justificadas y otras que no lo son.” (Badiou, Prefacio de la nueva edición a El concepto de modelo)

La ciencia del ser-en-tanto-ser es pura multiplicidad en cuanto se asumen dos cosas con el “gesto platónico” y matemático de Badiou: 1) la existencia de las multiplicidades infinitas del Parménides (164d), prefiguración de la teoría de conjuntos; y 2) la refutación por inconsistencia de la totalidad auto-legitimada,  lo cual es logro de Kurt Gödel. Analicemos en lo que sigue la influencia de este último pensador, no la única influencia matemática del filósofo francés, quien también se nutre de la teoría de los números de Conway o la última etapa de la teoría de categorías. 

Gödel, el conocido lógico austríaco, famoso también por la demostración de la indecibilidad en la hipótesis del continuo, argumentó que esta última no puede ser refutada si se sostienen los axiomas básicos de la teoría de conjuntos, toda vez que pone en juego la consistencia de dichos axiomas. Para este matemático, no existen cardinalidades intermedias entre números naturales, o sea, no son infinitos a la manera que Cantor entendió, por lo tanto, no hay un conjunto más grande, en el sentido que no habría un infinito activo, que contenga múltiples infinitos más pequeños. Pero, para llegar a tal afirmación —un poco oscura si no se clarifica el aporte del conjuntismo a la teoría aritmética, lo cual pondría en discusión un aspecto problemático del logicismo, a saber, la reducción de la matemática a la lógica—, Gödel propone, con apenas 24 años, dos teoremas fundamentales que se relacionan con las proposiciones indecibles, cuya variante aritmética no nos debe preocupar tanto como la crítica a los sistemas axiomáticos, pues los así llamados teoremas de incompletitud destruyeron la búsqueda de una teoría matemática completa, o sea, totalizante y consistente, en otras palabras, sin contradicciones. Lo que muestra Gödel, en el mismo marco de referencia que tienen Frege, Russell y Hilbert, es que no hay unificación entre la verdad y lo probado más que aparente. En teoría de conjuntos, por ejemplo, los axiomas están lejos de los hechos, y siempre son incompletos a la luz de lo real, por no aplicarse a cierto fisicalismo que atestigua la idealidad presupuesta. Aquí estaríamos en el plano de lo que Sellars denominó «el espacio de las razones» y donde John McDowell desarrolla su conocido libro Mente y mundo.

Demostración de Gödel aplicable a Dios

Pues bien, precisamente con ocasión del desarrollo del así llamado programa de Hilbert, Gödel irrumpe en un congreso celebrado en Königsberg, por ahí de 1930, con escasos 19 años, donde el representante de la escuela intuicionista recibe la lapidaria crítica de un joven que dice encontrar un error capital en el anhelado camino que el pensamiento matemático se suponía debía seguir: si el sistema de axiomas es consistente y sólo se admiten demostraciones que sean verificables algorítmicamente, entonces siempre habrá un enunciado P tal que ni él si su negación son demostrables. Para ponerlo en contexto, este programa era conocido por su estrategia romana, convertida casi en proverbio algorítmico: divide et impera. Siguiendo esta línea, el doctorado de Hilbert, donde desarrolla el «teorema de finitud», funda la base para una metamatemática con orientación aritmética, y no conjuntista, aunque jamás se abandona la tradición inaugurada por Cantor, pues de hecho el proyecto defiende los métodos infinitos, procurando describir todas las estructuras infinitas que las matemáticas modernas estudian. Como se observa, el problema es saber de qué manera hacerlo, surgiendo con esto la necesidad de la postulación de un modelo, concepto ampliamente criticado por Badiou en sus conferencias del 68’. La teoría de conjuntos enfrenta una crisis quizá irresoluble con la aparición de las paradojas de Russell, quien desconfía a ultranza del infinito activo, aunque por esto no se entrega a la hostilidad aristotélica del infinito potencial. Más bien, le permite a Hilbert conocer el planteamiento del problema, aunque la respuesta posiblemente peque de ambiciosa: “El problema semántico de la existencia del modelo puede transformarse en un problema puramente sintáctico sobre la consistencia formal de las teorías que pretenden describir los modelos relevantes.” (Linnebo, Philosophy of Mathematics, p.57)

Esa problema es temiblemente aprovechado por Gödel, quien en su primer teorema socava la idea de que exista un sistema de axiomas para aritmética tal que sea totalmente consistente. En su lugar, se propone demostrar que hay anunciado, en dicho sistema de axiomas, el cual ni él ni su negación son demostrables a partir de esos axiomas mediante las demostraciones admitidas, ergo, el conjunto de axiomas no satisface la totalidad de cualquier demostración. Badiou lo aclara, en plena discusión con el concepto de modelo —la cual evitaremos—: “El objeto de uno de los más famosos teoremas de Gödel es precisamente establecer la incompletitud del sistema formal de la aritmética, esto es de un sistema formal que admire como modelo la aritmética recursiva, la aritmética “clásica”. Los criterios de la sintaxis pertinente respecto de un modelo dado no son dejados al arbitrio de las semejanzas. Son propiedades teóricas.” (El concepto de modelo, 2009, p.66)

Sin acarrear los problemas técnicos de la cuestión, que sólo pretende mostrar un macizo matemático empleado por el filósofo francés en este breve escrito, debemos subrayar el uso de esa disciplina en Badiou, la cual es pensada estrictamente en cuanto pensamiento, esto es, no como un lenguaje universal acabado, o un metalenguaje que prescribe la verdad, ni siquiera en tanto números. Tal lenguaje no existe todavía, y es falso que la teoría de los números agota la disciplina, por lo tanto, ni las matemáticas definen claramente sus propios términos, aunque su intención de formalizar lo ordinario le brinda un margen de exactitud que no debe ser menospreciado. Aunque el error, para el sentido común, provenga de una “costumbre hecha ley”, a saber, la enseñanza automática y la automatización de la disciplina, que dispone una mirada no más allá del cálculo cuantitativo, lo que debilita la criticidad a un supuesto fondo ideal de objetos abstractos. El platonismo de lo múltiple, como pionero de la teoría de conjuntos, procura axiomatizar la posibilidad infinita del pensamiento, aunque sin el afán de darle conclusión. Es en este sentido que las matemáticas son ontológicas, pues competen al ser de la aparición. 

Bibliografía
Badiou, Alain. El concepto de modelo. Introducción a una epistemología materialista de las matemáticas. Buenos Aires: La Bestia, 2007.
Linnebo, Øystein. Philosophy of Mathematics. Oxford: Princeton University Press, 2017.

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